Construction d'une classe d'équivalence de fractions à partir d'un
anneau intègre \(A\). \[(N,D) \in A\times A\setminus\{0\}, (N,D) \sim
(N',D') \iff N\cdot D' = N' \cdot D\]
Définition du corps de fractions \(\mathbb{K} = \{Cl(N,D) \mid N\in A, D\in
A\setminus\{0\}\}\).
Propriétés sur les égalités et les opérations dans le corps de
fractions.
Muni de ces deux opérations, \(\mathbb{K}\) est un corps commutatif.
Injection canonique de \(A\) dans
\(\mathbb{K}\) : \(f : A \to \mathbb{K}, a \mapsto Cl(a,1) =
\frac{a}{1}\).
\(f\) est un morphisme d'anneaux
injectifs.
On peut identifier \(A\) à son
image dans \(\mathbb{K}\) notée \(f(A)\), et ainsi considérer \(A\) comme un sous-anneau de \(\mathbb{K}\).
\(\mathbb{K}\) est appelé le corps
de fractions de \(A\).
On peut bien le considérer comme une extension de \(A\).
\(\mathbb{K}\) est le plus petit
corps contenant \(A\) : pour tout corps
\(L\) contenant \(A\), il existe un morphisme d'anneaux
injectif de \(\mathbb{K}\) dans \(L\) qui fixe les éléments de \(A\).
Si \(A\) est un anneau de polynômes
\(\mathbb{K}[X]\), alors son corps de
fractions est le corps des fractions rationnelles \(\mathbb{K}(X)\). \[\mathbb{K}(X) = \{Cl(P,Q) = \frac PQ \mid P\in
\mathbb{K}[X], Q\in \mathbb{K}[X]\setminus\{0\}\}\]
Si \(F \in \mathbb{K}[X]^*\), alors
\(\deg(F) \in \mathbb{N}\).
La réciproque est fausse : \(\deg(\frac{X^2}{X+1}) = 1\) mais \(\frac{X^2}{X+1} \mathbb{N}otin
\mathbb{K}[X]\).
Fraction dérivée
Définition de la fraction dérivée : \(F' = \frac{P'Q -
PQ'}{Q^2}\).
Propriétés sur la fraction dérivée :
\(\deg(F') \leq \deg(F) - 1\).
Exemple pertinent :\(F=\frac{X}{X+1}\), alors \(\deg(F) = 0\) mais \(\deg(F') = -2 \le \deg(F) - 1\).
Zéros et pôles
\(\alpha\) est un zéro de \(F\) de multiplicité \(s\) lorsque \(\alpha\) est une racine du numérateur de
\(F\) de multiplicité \(s\).
\(\beta\) est un pôle de \(F\) de multiplicité \(t\) lorsque \(\beta\) est une racine du dénominateur de
\(F\) de multiplicité \(t\).
Important : Les zéros et les pôles d'une fraction
rationnelle sont définis seulement lorsque le numérateur et le
dénominateur sont premiers entre eux, i.e. \(F
= \frac AB\) avec \(A\wedge B =
1\).
Forme irréductible
Toute fraction rationnelle \(F\)
peut s'écrire de manière unique sous la forme irréductible \(\frac AB\) avec \(A\wedge B = 1\) et \(B\) unitaire.
Preuve :
Existence :
“Suppression” du coefficient dominant du dénominateur (ajout dans le
numérateur, qui devient \(P_{cfd}\))
pour que le dénominateur soit unitaire.
Existence d'un PGCD \(D\) de \(P\) et \(Q\) tel que \(P_{cfd} = DA\) et \(Q = DB\) avec \(A\wedge B = 1\).
On réecrit donc \(F\) sous la forme
\(\frac{P_{cfd}}{Q} = \frac{DA}{DB} = \frac
AB\).
Unicité :
Supposons que \(F\) puisse s'écrire
sous la forme \(\frac AB\) et \(\frac{A'}{B'}\) avec \(A, B, A', B' \in \mathbb{K}[X]\),
\(A \wedge B = 1\), \(A' \wedge B' = 1\), \(B\) unitaire et \(B'\) unitaire. Alors, on a :
\(A'B = AB'\) (en utilisant
l'égalité \(\frac AB =
\frac{A'}{B'}\)).
Comme \(B \mid A' B\), alors en
utilisant le théorème de Gauss, on trouve que \(B \mid B'\). De même, \(B' \mid A B'\), donc \(B' \mid B\) (sachant que \(A\) et \(B\) sont premiers entre eux).
Ainsi, \(B\) et \(B'\) sont deux polynômes associés et
unitaires alors \(B = B'\).
En remplaçant dans l'égalité, le résultat est démontré.
Élément simple
\(F\) est un élément simple de
\(\mathbb{K}(X)\) soit lorsque…
\(F = a\cdot X^k\) avec \(a \in \mathbb{K}^*\) et \(k \in \mathbb{Z}\). (\(F\) est un monôme de degré \(k\))
ou bien…
\(F = \frac{A}{P^n}\) avec :
\(A \in \mathbb{K}[X]^*\),
\(P \in \mathbb{K}[X]\)
irréductible,
\(n \in \mathbb{N}^*\),
\(\deg(A) < \deg(P)\).
Partie entière et
fractionnaire
Il existe un unique couple \((E,G) \in
\mathbb{K}[X] \times \mathbb{K}(X)\) tel que \(F = E + G\) et \(G\) est une fraction rationnelle
strictement fractionnaire (i.e. \(\deg(G) <
0\)).
\(E\) est appelé la partie entière
de \(F\) tandis que \(G\) est appelé la partie fractionnaire de
\(F\). Démonstration via division
euclidienne.
Décomposition en éléments
simples
Décomposition
en éléments simples de fractions rationnelles à dénominateur produit de
facteurs premiers entre eux
\[F = \frac{A}{B_1 \cdots B_n}\]
avec :
\(A, B_1, \dots, B_n \in
\mathbb{K}[X]\),
\(B_i\) et \(B_j\) sont deux à deux premiers entre
eux,
\(\deg(F) < 0\).
Il existe un unique \(n\)-uplet
\((A_1, \dots, A_n) \in
\mathbb{K}[X]^n\) tel que \(F =
\sum_{i=1}^n \frac{A_i}{B_i}\) et \(\deg(A_i) < \deg(B_i)\) pour tout \(i \in \{1, \dots, n\}\).
Démonstration par récurrence sur \(n\). Initialisation \(n=2\) recommandée.
Décomposition
en éléments simples d'une fraction rationnelle de la forme \(\frac{A}{B^n}\)
\[F = \frac{A}{B^n}\] avec :
\(A, B \in \mathbb{K}[X]\),
\(n \in \mathbb{N}^*\),
\(\deg(F) < 0\).
Il existe un unique \(n\)-uplet
\((A_1, \dots, A_n) \in
\mathbb{K}[X]^n\) tel que : \[F =
\sum_{i=1}^n \frac{A_i}{B^i}\] et \(\deg(A_i) < \deg(B)\) pour tout \(i \in \{1, \dots, n\}\).
Démonstration par récurrence sur \(n\). Hérédité démontrée via division
euclidienne et utilisation de l'H.R.
Cas général (Théorème)
Soit \(F = \frac AB \in
\mathbb{K}(X)\),
avec :
\(A, B \in \mathbb{K}[X]\),
\(A \wedge B = 1\),
\(B\) unitaire.
On écrit \(B\) sous la forme \(B = \prod_{i=1}^r B_i^{\alpha_i}\) avec
:
\(B_i\) et \(B_j\) deux à deux distincts
\(B_i\) irréductible pour tout
\(i \in \{1, \dots, r\}\),
ce qui implique implicitement que les \(B_i\) sont premiers entre eux,
\(\alpha_i \in \mathbb{N}^*\) pour tout
\(i \in \{1, \dots, r\}\).
Il existe d'uniques :
\(E \in \mathbb{K}[X]\),
\(A_{i,j} \in \mathbb{K}[X]\) pour
tout \(i \in \{1, \dots, r\}\) et tout
\(j \in \{1, \dots, \alpha_i\}\),
tels que : \[F = E + \sum_{i=1}^r
\sum_{j=1}^{\alpha_i} \frac{A_{i,j}}{B_i^j}\] et \(\deg(A_{i,j}) < \deg(B_i)\) pour tout
\(i \in \{1, \dots, r\}\) et tout \(j \in \{1, \dots, \alpha_i\}\).
Démonstration :
Division euclidienne de \(A\) par
\(B\) pour trouver un quotient \(E\) et un reste \(R\) tels que \(A
= EB + R\) avec \(\deg(R) <
\deg(B)\).
Utilisation de la première propriété pour trouver des éléments \(A_{i,1}\) tels que \(\frac RB = \sum_{i=1}^r
\frac{A_{i,1}}{B_i^{\alpha_i}}\) avec \(\deg(A_{i,1}) < \deg(B_i)\) pour tout
\(i \in \{1, \dots, r\}\), sachant que
\(B\) peut être décomposé en un produit
\(\prod_{i=1}^r B_i^{\alpha_i}\) avec
\(\deg(\frac{A_k}{B_k^{\alpha_k}}) <
0\) pour tout \(k \in \{1, \dots,
r\}\).
Utilisation de la seconde propriété pour trouver des éléments \(A_{i,j}\) tels que \(\frac{A_{i,1}}{B_i^{\alpha_i}} =
\sum_{j=1}^{\alpha_i} \frac{A_{i,j}}{B_i^j}\) avec \(\deg(A_{i,j}) < \deg(B_i)\) pour tout
\(j \in \{1, \dots, \alpha_i\}\) et
tout \(i \in \{1, \dots, r\}\).
En combinant toutes ces égalités, on trouve que \(F = E + \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^{\alpha_i}
\frac{A_{i,j}}{B_i^j}\) avec les conditions de degrés sur les
\(A_{i,j}\).
Techniques de décomposition
Méthode par pôles simples
Soit \(F = \frac AB \in
\mathbb{K}(X)\) avec :
\(A \wedge B = 1\),
\(B = \prod_{i=1}^n (X - a_i)\)
\(a_i \in \mathbb{K}\) pour tout
\(i \in \{1, \dots, n\}\)
les \(a_i\) sont deux à deux
distincts.
\(F\) peut être décomposée de la
manière suivante :
\[F = E + \sum_{i=1}^n \frac{\lambda_i}{X
- a_i}\] avec \(E \in
\mathbb{K}[X]\) et \(\lambda_i \in
\mathbb{K}\) pour tout \(i \in \{1,
\dots, n\}\).
\(\lambda_i =
\frac{A(a_i)}{B'(a_i)}\) pour tout \(i \in \{1, \dots, n\}\).
Méthode par pôles doubles
Soit \(F = \frac AB \in
\mathbb{K}(X)\) avec :
\(A \wedge B = 1\),
\(B = (X - a)^2 \cdot Q\) avec
\(Q(a) \mathbb{N}eq 0\) et \(a \in \mathbb{K}\).
\(F\) peut être décomposée de la
manière suivante : \[F = E +
\frac{\lambda_1}{X - a} + \frac{\lambda_2}{(X - a)^2} +
\frac{A_1}{Q}\]
avec \(\deg(A_1) < \deg(Q)\) et
\(\lambda_1, \lambda_2 \in
\mathbb{K}\).
Et on a \(\begin{cases} \lambda_2 =
\frac{A(a)}{Q(a)} \\ \lambda_1 = (\frac{A}{Q})'(a)
\end{cases}\).
Méthode par pôles multiples
(\(s \ge 3\))
Soit \(F = \frac{P}{(X - a)^s \cdot
Q}\) avec \(Q(a) \mathbb{N}eq 0\) et
\(a \in \mathbb{K}\), \(s \ge 3\).
D'après la formule de Taylor, \(P\)
peut être décomposé de la manière suivante : \[P = \sum_{k=0}^{n} P^{(k)}(a) \cdot \frac{(X -
a)^k}{k!}\]
Si \(n < s\), alors \(F\) peut être décomposée de la manière
suivante : \[F = \sum_{k=0}^{n}
\frac{P^{(k)}(a)}{k!} \cdot \frac{1}{(X - a)^{s-k}}\]
Si \(n \ge s\), alors \(F\) peut être décomposée de la manière
suivante : \[F = \sum_{k=0}^{s-1}
\frac{P^{(k)}(a)}{k!} \cdot \frac{1}{(X - a)^{s-k}} +
\underbrace{\sum_{k=s}^{n} \frac{P^{(k)}(a)}{k!} \cdot (X -
a)^{k-s}}_{\text{partie entière}}\]